Table of Contents

আজকের পোস্টে আমারা আলোচনা করবো, গানিতিক গড় কী? গণসংখ্যা নিবেশন থেকে কল্পিত গড় নির্ণয় পদ্ধতি বা আনুমানিক গড়। অষ্টম শ্রেণী (জেএসসি), নবম-দশম ( এসএসসি) , ভোকেশনাল বোর্ডসহ সকল শিক্ষার্থীদের জন্য গনসংখ্যা নিবেশন বা গনসংখ্যা সারনি থেকে গড় নির্ণয় করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি এবং সুত্র ব্যাবহার করা হয় কিন্তু অনেক সময় উপাত্ত থেকে কল্পিত গড় ( Assumed Mean) বা আনুমানিক গড় বের করতে সমস্যা হয় তাই আজকে এই সমস্যার সমাধান নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে এবং উদাহরণসহ ব্যাখ্য করা হবে।।

প্রতিটি বিষয়কে সুত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করে বিস্তারিত ভাবে তুলে ধরা হয়েছে, সাথে থাকছে গানিতিক গড় নির্ণয় পদ্ধতি সুত্র সহ। এছাড়াও কিভাবে গড় কাজ করে এবং এর সুবিধা কি তা নিয়েও আলোচনা করা হয়েছে।

গাণিতিক গড় বা যোজিত গড় বলতে কি বুঝ?

গাণিতিক গড় বা যোজিত গড় হলো পরিসংখ্যানের একটি গুরুত্বপূর্ণ মাপকাঠি, যা কোনো একটি তথ্য সেটের কেন্দ্রীয় প্রবণতা বা মধ্যমান নির্ধারণ করে। গাণিতিক গড় নির্ণয় করতে প্রথমে সব তথ্য বা পর্যবেক্ষণের মানসমূহকে যোগ করতে হয় এবং তারপর সেই যোগফলকে মোট তথ্যের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হয়। এই ভাগফলকেই গাণিতিক গড় বা যোজিত গড় বলে।

বিজ্ঞাপন

গাণিতিক গড়ের মাধ্যমে একটি তথ্য সংখ্যার সমগ্র মানসমূহের গড় বের করা যায়, যা তথ্য সয়খ্যার মানগুলোর মধ্যে সমতা বা বিস্তার সম্পর্কে একটি ধারণা প্রদান করে। এটি ব্যবহৃত হয় যখন প্রতিটি তথ্যের মানের সমান গুরুত্ব থাকে এবং সেটির সকল মানগুলোর সমন্বিত প্রভাব বিশ্লেষণ করতে হয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনো ক্লাসের পাঁচটি পরীক্ষার নম্বরগুলো 70, 80, 90, 60, এবং 50 হয়, তাহলে গাণিতিক গড় নির্ণয় করতে এই নম্বরগুলোর যোগফল 350 হবে এবং মোট পরীক্ষার সংখ্যা ৫ হওয়ায়, গাণিতিক গড় হবে $\frac{350}{5} = 70$ ।

যোজিত গড় হল সমজাতীয় কতগুলো রাশির কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপক একটি সংখ্যা। যারা সেগুলোর সমষ্টিকে রাশির মোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তার সমান।

গাণিতিক গড়ের বৈশিষ্ট্য

গাণিতিক গড় থেকে সংখ্যাগুলোর ব্যবধানের মোট যোগফল শূন্য
গাণিতিক গড় মূল ও মাপুনের উপর নির্ভরশীল হয়ে থাকে।
গাণিতিক গড় থেকে সংখ্যাগুলোর ব্যবধানের বর্গ সমষ্টি ক্ষুদ্রতম হয়।
গাণিতিক গড় × গণসংখ্যা = মোট সংখ্যা গুলোর যোগফল
দুই বা ততোধিক তথ্য সংখ্যার গাণিতিক গড় জানা থাকলে যুক্ত তথ্য সংখ্যা থেকে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায়।
এটি নির্দিষ্ট ধারা যুক্ত সকল মানের উপর নির্ভরশীল, তবে কোন একটি মান অজানা থাকলে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

কল্পিত গড় কাকে বলে?

কল্পিত গড় বলতে এমন একটি গড়কে বোঝানো হয় যা বাস্তব তথ্যের ভিত্তিতে নয়, বরং অনুমান বা কল্পনা করে নির্ধারণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যখন আপনার কাছে কোনো বাস্তব গনসংখ্যা সারনির তথ্য নেই এবং আপনি একটি ধারণা বা অনুমান দিয়ে গড় নির্ধারণ করতে চান, তখন এটি কল্পিত গড় হিসেবে ধরা হয়। কল্পিত গড় সাধারণত A দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মনে করুন, আপনি একটি পরীক্ষার ফলাফল সম্পর্কে জানতে চান, কিন্তু আসল নম্বরগুলো জানা নেই। তখন আপনি উক্ত নম্বর গুলো থেকে কোনো একটি অনুমান করে একটি গড় মান হিসেব করতে পারেন, যা বাস্তব গড় নয় কিন্তু একটি কল্পিত গড় হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

মোট কথা, (Assumed Mean) কল্পিত গড় হলো এমন একটি গড় যা বাস্তব তথ্যের অভাব বা অন্য কোনো কারণে কল্পনা করে নির্ধারণ করা হয়।

কিভাবে গনসংখ্যা নিবেশন থেকে কল্পিত গড় নির্ণয় করা হয়?

গণসংখ্যা সারণি বা গণসংখ্যা নিবেশন ও উপাত্ত থেকে মধ্যমা, প্রচুরক, গাণিতিক গড়, পরিমিত ব্যবধান, বিভেদাংক , ভেদাঙ্ক নির্ণয় করতে চান তাহলে আপনাকে একটি কল্পিত গড় ধরে নিতে হবে, অন্যথায় আপনি সঠিকভাবে নির্ণয় করতে পারবেন না। আমরা সাধারনত যেনে থাকি যে কল্পিত গড়, শ্রেণী মধ্যমান থেকে বড় শ্রণীসংখ্যা অনুযায়ী একটি সংখ্যা ধরে নিলেই হয়। তবে এটি অনেক সময় ভুল হতে পারে। তাই আজকে আমরা শিখবো কিভাবে গনসংখ্যা নিবেশন থেকে কল্পিত গড় নির্ণয় করা হয় এবং যেকোনো গনসংখ্যা নিবেশন বা গনসংখ্যা সারনি থেকে কল্পিত গড় নির্ণয় পদ্ধতি। নিচে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে। আশা করছি আপনি যদি আজকের বিষয়টি ভালোভাবে বুঝতে পারেন তাহলে গনসংখ্যা বা কোনো উপাত্ত থেকে কল্পিত গড় নির্ণয় করতে কোন সমস্যা হবে না। কল্পিত গড় বের করতে কয়েকটি ধাপ অবলম্বন করতে হয় যার নিচে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে।

আজকে আমরা এমন একটি গণসংখ্যা সারণী বা উপাত্ত নিব যার মধ্য থেকে গাণিতিক মধ্যমা, প্রচুরক, গাণিতিক গড়, পরিমিত ব্যবধান, বিভেদাংক , ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য কল্পিত গড় খুব সহজেই বের করা যায়। উদাহরণসহ নিচে দেওয়া হল।

গনসংখ্যা সারনি থেকে কল্পিত গড় নির্ণয় পদ্ধতি

নিম্নে উপাত্ত হতে গাণিতিক গড় নির্ণয় কর।

মাসিক আয় টাকা	300 – 500	500 – 700	700 – 900	900 – 1100	1100 – 1300	1300 – 1500
পরিবার সংখ্যা	25	55	30	20	14	6

প্রতিটি শ্রেণির গড় নির্ণয়:

প্রথমে, প্রতি শ্রেণির গড় মান নির্ধারণ করতে হবে। এটি শ্রেণির নিম্ন ও উচ্চ সীমার গড়।

300 – 500: গড় = $\frac{300 + 500}{2} = 400$
500 – 700: গড় = $\frac{500 + 700}{2} = 600$
700 – 900: গড় = $\frac{700 + 900}{2} = 800$
900 – 1100: গড় = $\frac{900 + 1100}{2} = 1000$
1100 – 1300: গড় = $\frac{1100 + 1300}{2} = 1200$
1300 – 1500: গড় = $\frac{1300 + 1500}{2} = 1400$

প্রতিটি শ্রেণির গড়কে সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা দিয়ে গুণ:

প্রতিটি শ্রেণির গড় মানকে সংশ্লিষ্ট পরিবারের সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে:

300 – 500: $400 \times 25 = 10000$
500 – 700: $600 \times 55 = 33000$
700 – 900: $800 \times 30 = 24000$
900 – 1100: $1000 \times 20 = 20000$
1100 – 1300: $1200 \times 14 = 16800$
1300 – 1500: $1400 \times 6 = 8400$

গুনফলগুলো যোগ করুন:

প্রতিটি শ্রেণির গড় গুণফল যোগ করতে হবে:

$10000 + 33000 + 24000 + 20000 + 16800 + 8400 = 115200$

মোট গণসংখ্যা:

এখন মোট গণসংখ্যা যোগ করতে হবে:

$25 + 55 + 30 + 20 + 14 + 6 = 150$

আনুমানিক গড় বা কল্পিত গড় নির্ণয়:

গুণফলকে মোট পরিবার সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হবে:

কল্পিত গড় = মোট গুনফল ÷ মোট গণসংখ্যা

$\text{গড়} = \frac{115200}{150} = 768$

যদি আপনার কল্পিত গড় 768 হয়, তাহলে এটি 500-700 শ্রেণির মধ্যে পড়ে। কিন্তু 768, 500-700 শ্রেণির গড় 800 এর কাছাকাছি। সুতরাং, কল্পিত গড় 500-700 শ্রেণির মধ্যে সবচেয়ে নিকটবর্তী হবে।

গনসংখ্যা উপাত্ত থেকে কল্পিত গড় এর উদাহরণ

মাসিক আয় বা শ্রেণিব্যাপ্তি	পরিবারের সংখ্যা বা গণসংখ্যা (f)	শ্রেণিব্যাপ্তির মধ্যমান (X)	d=x-A÷c	fd
300-500	25	400	-2	-50
500-700	55	600	-1	-55
700-900	30	800 (A)	0	0
900-1100	20	1000	+1	+20
1100-1300	14	1200	+2	+28
1300-1500	6	1400	+3	+18
	মোট (N)=150			Σfd=-39

গাণিতিক গড় নির্ণয় করতে, সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে:

$\bar{x} = A + \frac{\Sigma fd}{N} \times C$

$\bar{x} = 800 + \frac{-39}{150} \times 200 = 800 - 52 = 748$

এখানে,
A= আনুমানিক গড় বা কল্পিত গড়।
c= শ্রেণী ব্যবধান = 500-300=200
Σfd= -39
N = মোট গণসংখ্যা = 150

কল্পিত গড় (Assumed Mean) হলো একটি পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি যা হিসাবের কাজ সহজ করার জন্য ব্যবহৃত হয়, বিশেষ করে যখন বড় বড় সংখ্যা নিয়ে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা হয়। কল্পিত গড় নির্ণয়ের মাধ্যমে হিসাবের জটিলতা কমে এবং সময় বাঁচে। এই পদ্ধতিতে একটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু কল্পিত গড় (A) হিসেবে ধরে নিয়ে পরবর্তী গণনা করা হয়।

সহজ পদ্ধতিতে আনুমানিক গড় বা কল্পিত গড় নির্ণয়ের পদ্ধতি:

প্রথমে, শ্রেণির মধ্যবিন্দু (X) নির্ণয় করুন:

প্রতিটি শ্রেণির নিম্ন এবং উচ্চ সীমার যোগফলকে ২ দিয়ে ভাগ করলে শ্রেণির মধ্যবিন্দু পাওয়া যায়।

উদাহরণস্বরূপ, শ্রেণি 300-500 হলে মধ্যবিন্দু হবে: $\frac{300 + 500}{2} = 400$

প্রত্যেক শ্রেণির মধ্যবিন্দুর সঙ্গে কল্পিত গড়ের পার্থক্য (d) নির্ণয়:

প্রতিটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু থেকে কল্পিত গড় (A) বিয়োগ করে d নির্ণয় করা হয়।
$d = \frac{X - A}{C}$

উদাহরণ: যদি মধ্যবিন্দু (X) = 600 এবং কল্পিত গড় (A) = 800 হয়, তাহলে d হবে: $d = \frac{600 - 800}{200} = -1$

fd গুলোর যোগফল বের করুন:

অর্থাৎ, Σfd নির্ণয় করুন।

মোট গণসংখ্যা (N) নির্ণয় করুন:

প্রতিটি শ্রেণির গণসংখ্যার যোগফলই হল মোট গণসংখ্যা।

গাণিতিক গড়ের সূত্র প্রয়োগ করুন:

$\bar{x} = A + \frac{\Sigma fd}{N} \times C$

এখানে,

$\bar{x}$ = গড়
$A$ = কল্পিত গড় (সাধারণত মাঝের একটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু)
$\Sigma fd$ = fd গুলোর যোগফল
$N$ = মোট গণসংখ্যা
$C$ = শ্রেণি পরিসর

☞ আরো পড়ুন : এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান সাজেশন ২০২৫ ( নবম-দশম) সৃজনশীল প্রশ্ন

কল্পিত গড়ের সুবিধা

বড় বড় সংখ্যা নিয়ে কাজ করার সময় হিসাব সহজ করে দেয়।
গণনার ক্ষেত্রে কল্পিত গড় ব্যবহার করলে ভুলের সম্ভাবনা কমে যায়।
যখন মাঝামাঝি মান নির্ধারণে অসুবিধা হয় তখন কল্পিত গড় একটি সহায়ক ভূমিকা পালন করে।

কল্পিত গড়ের সীমাবদ্ধতা

এটি একটি অনুমান নির্ভর পদ্ধতি, তাই প্রকৃত মানের সাথে সামান্য পার্থক্য থাকতে পারে।
কল্পিত গড় হিসেবে যে মান নেওয়া হয়, তা যদি সঠিকভাবে নির্বাচিত না হয়, তাহলে ফলাফলে ভুল হতে পারে।

আমাদের সাথে যুক্ত থাকুন : Facebook Page

Post Views: 255